দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)
সংজ্ঞা: যে সমীকরণটি ax2 + bx + c = 0 আকারে লেখা যায়, যেখানে a, b, এবং c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation) বলা হয়।
এটি একচলবিশিষ্ট (univariate) কারণ এতে শুধুমাত্র একটি চলরাশি x থাকে।
এখানে: – \( a \), \( b \), এবং \( c \) হল ধ্রুবক সংখ্যা (যেখানে \( a \neq 0 \)),
– \( x \) হল অজানা সংখ্যা, যা সমীকরণের সমাধান হিসেবে বের করতে হয়।
Ex. x2 – 3x = 5(2 – x) সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ কিনা যাচাই করি:
x2 – 3x = 5(2 – x)
বা, x2 – 3x = 10 – 5x
বা, x2 – 3x + 5x – 10 = 0
বা, x2 + 2x – 10 = 0
সমীকরণটির আকার a x2 + bx + c = 0 [a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0] -এর মতো।অর্থাৎ,x2 – 3x = 5(2 – x) সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকারভেদ:
(\( \Delta \)) কে ax2 + bx + c = 0 সমীকরণটির নিরূপক বলে ।
\( \Delta = b^2 – 4ac \)
নিরূপকের মান দ্বারা সমীকরণের সমাধানের ধরন নির্ধারিত হয়:
- যদি \( \Delta > 0 \): দুটি বাস্তব এবং আলাদা সমাধান থাকবে।
- যদি \( \Delta = 0 \): একটি বাস্তব সমাধান থাকবে, যা দ্বিগুণ মূল বলে পরিচিত।
- যদি \( \Delta < 0 \): কোনো বাস্তব সমাধান থাকবে না, শুধুমাত্র কাল্পনিক সমাধান থাকবে।
দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান:
দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান বের করার জন্য প্রধানত দুটি পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়:
1. উৎপাদক পদ্ধতি (Factorization Method)
এই পদ্ধতিতে, সমীকরণের বাম পাশের পদের গুণফল হিসেবে লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ:
\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)
এটি গুণফলে লেখা যায়:
\( (x + 2)(x + 3) = 0 \)
এখন, সমীকরণটি সমাধান করতে, \( x + 2 = 0 \) অথবা \( x + 3 = 0 \) হওয়া উচিত। তাই, \( x = -2 \) এবং \( x = -3 \)।
2. শ্রীধর আচার্যের সুত্র (Quadratic Formula)
এটি একটি সর্বজনীন পদ্ধতি, যা কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য ব্যবহার করা যায়। দ্বিঘাত সুত্র হল:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)
এখানে, \( \pm \) চিহ্নটি বোঝায় যে দুটি সমাধান থাকতে পারে, একটি যোগফল এবং একটি বিয়োগফল। সুতরাং, এই সূত্রের মাধ্যমে সমাধান বের করা হয়।
উদাহরণ:
ধরা যাক, সমীকরণটি হল:
\( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \)
এখানে \( a = 2 \), \( b = 3 \), এবং \( c = -5 \)। এখন, দ্বিঘাত সুত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যাক:
\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4(2)(-5)}}{2(2)} \)
\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} \)
\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} \)
\( x = \frac{-3 \pm 7}{4} \)
তাহলে, দুটি সমাধান পাওয়া যায়:
- \( x = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
- \( x = \frac{-3 – 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5 \)
দ্বিঘাত সমীকরণের প্রয়োগ:
দ্বিঘাত সমীকরণ গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় এবং এটি বাস্তব জীবনের নানা সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়। কিছু প্রয়োগের মধ্যে রয়েছে:
- শারীরিক গতিবিদ্যা: বস্তুর গতির সমীকরণ নির্ধারণে।
- অর্থনীতি: লাভ-ক্ষতির গাণিতিক মডেল তৈরি করা।
- যান্ত্রিক প্রকৌশল: বিভিন্ন ধরনের আর্ক এবং কাঠামো বিশ্লেষণ।
দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করি:
সমাধান:
\[ \frac{a}{x – b} – 1 + \frac{b}{x – a} – 1 = 0 \]
\[ \frac{a – x + b}{x – b} + \frac{b – x + a}{x – a} = 0 \]
\[ \frac{a + b – x}{x – b} + \frac{a + b – x}{x – a} = 0 \]
\[ (a + b – x) \left[ \frac{1}{x – b} + \frac{1}{x – a} \right] = 0 \]
\[ (a + b – x) \left[ \frac{x – a + x – b}{(x – a)(x – b)} \right] = 0 \]
\[ (a + b – x) \left[ \frac{2x – a – b}{(x – a)(x – b)} \right] = 0 \]
সুতরাং, \( a + b – x = 0 \) অথবা \( 2x – a – b = 0 \)
যদি \( a + b – x = 0 \) হয়, তবে \( x = a + b \)
যদি \( 2x – a – b = 0 \) হয়, তবে \( x = \frac{a + b}{2} \)
সুতরাং, বীজদ্বয় হলো: \( x = a + b \) এবং \( x = \frac{a + b}{2} \)
কষে দেখি 1.1.
- নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
(i) x²- 7x + 2
(ii) 7x⁵ – x(x + 2)
(iii) 2x(x + 5) + 1
(iv) 2x-12.
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি a x² + bx + c = 0 , যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
(i) x – 1 + 1/x = 6 ,(x≠0)
(ii) x+2=x², (x≠0)
(iii) x²-6x+2=0
(iv)(x-2)²=x²-4x+43.
3. x⁶ – x³ – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
4. (i) (a – 2) x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
(ii) x/(4 – x) = 1/(3x) , (x≠0, x = 4)-কে ax² + bx + c =0(a ≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
(iii) 3x² +7x+23= (x + 4)(x + 3) + 2 – কে ax² + bx + c =0(a ≠0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।(iv) (x + 2)² = x(x² – 1) সমীকরণটিকে ax² + bx + c =0(a ≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x², x ও x°-এর সহগ লিখি।
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 3136. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
(ii) এক ব্যক্তি ৪০ টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
কষে দেখি 1.1 এর প্রশ্নগুলোর সমাধান নিচে দেওয়া হলো:
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
(i) x² – 7x + 2: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা, কারণ এখানে চলক x এর সর্বোচ্চ ঘাত ২।
(ii) 7x⁵ – x(x + 2) = 7x⁵ – x² – 2x: এটি দ্বিঘাত নয়, কারণ এখানে চলক x এর সর্বোচ্চ ঘাত ৫।
(iii) 2x(x + 5) + 1 = 2x² + 10x + 1: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা, কারণ এখানে চলক x এর সর্বোচ্চ ঘাত ২।
(iv) 2x – 1: এটি দ্বিঘাত নয়, কারণ এখানে চলক x এর সর্বোচ্চ ঘাত ১।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় তা লিখি।
(i) x – 1 + 1/x = 6: উভয় দিকে x গুণ করে এবং সরল করে পাই x² – 7x + 1 = 0। এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায়।
(ii) x + 2 = x²: সরল করে পাই x² – x – 2 = 0। এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায়।
(iii) x² – 6x + 2 = 0: এটি সরাসরি ax² + bx + c = 0 আকারে আছে।
(iv) (x – 2)² = x² – 4x + 4: এটি সরল করলে 0 = 0 হয়, যা দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
3. x⁶ – x³ – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
যদি আমরা x³ = y ধরি, তবে সমীকরণটি হবে y² – y – 2 = 0, যা y এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
সুতরাং, সমীকরণটি x³ এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4. (i) (a – 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
যদি a – 2 = 0 হয়, তবে x² এর সহগ শূন্য হবে এবং সমীকরণটি দ্বিঘাত থাকবে না।
সুতরাং, a = 2 এর জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে না।
(ii) x / (4 – x) = 1 / (3x) কে ax² + bx + c = 0 আকারে প্রকাশ করে সহগ নির্ণয় করো।
গুণ করে পাই 3x² = 4 – x, অর্থাৎ 3x² + x – 4 = 0। এখানে a = 3, b = 1, c = -4।
(iii) 3x² + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2 কে ax² + bx + c = 0 আকারে প্রকাশ করো।
সরল করে পাই 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 12 + 2, অর্থাৎ 2x² + 9 = 0। এখানে a = 2, b = 0, c = 9।
(iv) (x + 2)³ = x(x² – 1) কে ax² + bx + c = 0 আকারে প্রকাশ করে x², x ও x⁰ এর সহগ লেখো।
সরল করে পাই x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ – x, অর্থাৎ 6x² + 13x + 8 = 0। এখানে x² এর সহগ 6, x এর সহগ 13, এবং x⁰ এর সহগ 8।
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
ধরি একটি অংশ x, তাহলে অন্য অংশ 42 – x। শর্তানুসারে, x = (42 – x)²।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143।
ধরি প্রথম সংখ্যাটি 2x + 1, তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি 2x + 3। শর্তানুসারে, (2x + 1)(2x + 3) = 143।
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313।
ধরি প্রথম সংখ্যাটি x, তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি x + 1। শর্তানুসারে, x² + (x + 1)² = 313।
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
ধরি প্রস্থ x, তাহলে দৈর্ঘ্য x + 3। শর্তানুসারে, x² + (x + 3)² = 15²।
(ii) এক ব্যক্তি ৪০ টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
ধরি প্রথমে x কিগ্রা চিনি কেনা হয়েছিল। শর্তানুসারে, 40/x – 40/(x + 4) = 1।
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
ধরি প্রাথমিক গতিবেগ x কিমি/ঘণ্টা। শর্তানুসারে, 300/x – 300/(x + 5) = 2।
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
ধরি ক্রয়মূল্য x টাকা। শর্তানুসারে, x + (x²/100) = 336।
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
ধরি নৌকার বেগ x কিমি/ঘণ্টা। শর্তানুসারে, 21/(x + 2) + 21/(x – 2) = 10।
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।
ধরি মহিমের সময় x ঘণ্টা, মজিদের সময় x + 3 ঘণ্টা। শর্তানুসারে, 2/x + 2/(x + 3) = 1।
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
ধরি দশক স্থানীয় অঙ্ক x, একক স্থানীয় অঙ্ক x + 6। শর্তানুসারে, 10x + (x + 6) – x(x + 6) = 12।
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
ধরি রাস্তার প্রস্থ x মিটার। শর্তানুসারে, (45 + 2x)(40 + 2x) – 45 ×40 = 450।
Important Problems & Solutions
Shorts Competitive Math